ECUACIONES CON RAICES CUADRADAS,
ELEVAR AL CUADRADO A AMBOS MIEMBROS DE UNA IGUALDAD,
MATHEMATICA: FUNDAMENTOS Y GRÁFICAS DE COLORES.

Otro artículo con la opinión de José Antonio Rojas Delgado, 30/3/2024, © rojasdelgado.com

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La solución de las ecuaciones que involucran raíces cuadradas hay que comprobarlas: Por ej: x-Sqrt(x)==2

Para resolverla a mano, se reorganiza como: x-2==Sqrt(x)

Se puede elevar al cuadrado a ambos miembros, y queda: (x-2)^2==(Sqrt(x))^2= x

que queda: x^2+2^2-4x=x

que queda: x^2-5x+4==0

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que se factoriza por: (x-4)(x-1)==0

por lo que, APARENTEMENTE, las soluciones son x=4 y x=1

PERO NO ES CIERTO, PORQUE CUANDO SE COMPRUEBAN AMBAS SOLUCIONES APARENTES:

COMPROBANDO X=4, LA EXPRESION ORIGINAL x-Sqrt(x)==2 queda 4-Sqrt(4)==2, que queda 4-2==2, que queda 2==2, verificada solución x=4

COMPROBANDO X=1, LA EXPRESION ORIGINAL x-Sqrt(x)==2 queda 1-Sqrt(1)==2, que queda 1-1==2, que queda 0==2, que no es cierto, luego NO VERIFICADA SOLUCIÓN x=1

¿ACASO ELEVAR AL CUADRADO A AMBOS MIEMBROS DE UNA IGUALDAD NO ES UNA OPERACIÓN QUE MANTENGA LA IGUALDAD ORIGINAL?

Se comprueba más arriba que la función original y1:=x-Sqrt(x)-2 (en color rojo) no es la misma función que la y3:=(x-Sqrt(x)-2)^2 (en color azul), por lo que la suposición de que se puede elevar al cuadrado a ambos miembros de la igualdad x-Sqrt(x)-2==0 NO ES CIERTA. En efecto, y3:=(y1)^2 es distinto de y1.

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Se comprueba más arriba que la función original y1:=x-Sqrt(x)-2 (en color rojo) tampoco es la misma función que la y2:=(x-Sqrt(x))^2-2^2 (en color verde), por lo que la suposición de que se puede elevar al cuadrado a ambos miembros de la igualdad x-Sqrt(x)==2 NO ES CIERTA. En efecto y2 es distinto de y1.

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Queda claro, puesto que este ejemplo es un contra-ejemplo de la proposición contraria, que ELEVAR AL CUADRADO A AMBOS MIEMBROS DE UNA IGUALDAD NO ES UNA OPERACIÓN QUE MANTENGA LA IGUALDAD ORIGINAL.

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CÓDIGO FUENTE EN WOLFGANG MATHEMATICA


In[1]:= a=1
Out[1]= 1
In[2]:= b=3
Out[2]= 3
In[3]:= a+b
Out[3]= 4
In[4]:= Solve[x-1==0,x]
Out[4]= {{x->1}}
In[5]:= Plot[x-1,{x,-0.2,1.2}, Epilog->{PointSize[0.02],Red,Point[{1,0}],Text["(1,0)",{1,0},{0,-2}]}]
Out[5]= 
In[6]:= ListPlot[{{1,0}}];
In[7]:= Solve[(x-2)(x-1)==0,x]
Out[7]= {{x->1},{x->2}}
In[8]:= Plot[(x-2)(x-1),{x,0.8,2.2}, Epilog->{PointSize[0.02],Red,Point[{1,0}],Text["(1,0)",{1,0},{-1,-2}],Point[{2,0}],Text["(2,0)",{2,0},{1,-2}]}]
Out[8]= 
In[9]:= Solve[(x-4)(x-1)==0,x]
Out[9]= {{x->1},{x->4}}
In[10]:= Plot[(x-4)(x-1),{x,0.8,4.2},Epilog->{PointSize[0.02],Red,Point[{1,0}],Text["(1,0)",{1,0},{-1,-2}],Point[{4,0}],Text["(4.0)",{4,0},{1,-2}]}]
Out[10]= 
In[11]:= Sqrt[4]
Out[11]= 2
In[12]:= Clear[a,b,c];Solve[a x^2+b x+c==0,x]
Out[12]= {{x->(-b-Sqrt[b^2-4 a c])/(2 a)},{x->(-b+Sqrt[b^2-4 a c])/(2 a)}}
In[13]:= Solve[2x^2+x+3==0,x]
Out[13]= {{x->1/4 (-1-I Sqrt[23])},{x->1/4 (-1+I Sqrt[23])}}
In[14]:= Solve[2x^2+x+3==0,x,Reals]
Out[14]= {}
In[15]:= Solve[x-Sqrt[x]==2,x]
Out[15]= {{x->4}}
In[16]:= Plot[{x,x^2,Sqrt[x]},{x,-0.2,1.2},PlotLabels->{"x","x^2","Sqrt(x)"}]
Out[16]= gráfica
In[17]:= Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,0,2 Pi},PlotStyle->{Blue,Red},PlotLegends->{"Sin[x]","Cos[x]"}]
Out[17]= gráfica
In[18]:= y1:=x-Sqrt[x]-2;
y2:=(x-Sqrt[x])^2-2^2;
y3:=(x-Sqrt[x]-2)^2;Plot[{x,Sqrt[x],-Sqrt[x],x-Sqrt[x],y1,y2,y3},{x,-0.5,4.5},PlotLabels->{"x","Sqrt(x)","-Sqrt(x)","x-Sqrt(x)","y1:=x-Sqrt(x)-2","y2:=(x-Sqrt(x))^2-2^2","y3:(x-Sqrt(x)-2))^2"}]
Out[20]= gráfica
In[21]:= Plot[{x,Sqrt[x],-Sqrt[x],x-Sqrt[x],y1,y2,y3},{x,-0.5,4.5},PlotStyle->{Black,Yellow, Magenta, Cyan,Red,Green,Blue},PlotLegends->{"x","Sqrt(x)","-Sqrt(x)","x-Sqrt(x)","y1:=x-Sqrt[x]-2","y2:=(x-Sqrt[x])^2-2^2","y3:=(x-Sqrt[x]-2)^2"}]
Out[21]= gráfica
In[22]:= 
//La solución de las ecuaciones que involucran raíces cuadradas hay que comprobarlas: Por ej: x-Sqrt(x)==2
//Para resolverla a mano, se reorganiza como: x-2==Sqrt(x)
//Se puede elevar al cuadrado a ambos miembros, y queda: (x-2)^2==(Sqrt(x))^2= x
//que queda: x^2+2^2-4x=x
//que queda: x^2-5x+4==0
In[23]:= Factor[(x^2-5x+4)]
Out[23]= (-4+x) (-1+x)
//que se factoriza por: (x-4)(x-1)==0
//por lo que, APARENTEMENTE, las soluciones son x=4 y x=1
//PERO NO ES CIERTO, PORQUE CUANDO SE COMPRUEBAN AMBAS SOLUCIONES APARENTES:
//COMPROBANDO X=4, LA EXPRESION ORIGINAL x-Sqrt(x)==2 queda 4-Sqrt(4)==2, que queda 4-2==2, que queda 2==2, verificada solución x=4
//COMPROBANDO X=1, LA EXPRESION ORIGINAL x-Sqrt(x)==2 queda 1-Sqrt(1)==2, que queda 1-1==2, que queda 0==2, que no es cierto, luego NO VERIFICADA SOLUCIÓN x=1
//¿ACASO ELEVAR AL CUADRADO A AMBOS MIEMBROS DE UNA IGUALDAD NO ES UNA OPERACIÓN QUE MANTENGA LA IGUALDAD ORIGINAL?
//Se comprueba más arriba que la función original y1:=x-Sqrt(x)-2 (en color rojo) no es la misma función que la y3:=(x-Sqrt(x)-2)^2 (en color azul), por lo que la suposición de que se puede elevar al cuadrado a ambos miembros de la igualdad x-Sqrt(x)-2==0 NO ES CIERTA. En efecto, y3:=(y1)^2 es distinto de y1.
In[24]:= Solve[y3===y1,x]
Out[24]= {}
In[25]:= y3===y1
Out[25]= False
In[26]:= Plot[{y1,y3},{x,-0.5,4.5},PlotStyle->{Red,Blue},PlotLegends->{"y1:=x-Sqrt[x]-2","y3:=(x-Sqrt[x]-2)^2"}]
Out[26]= gráfica
//Se comprueba más arriba que la función original y1:=x-Sqrt(x)-2 (en color rojo) tampoco es la misma función que la y2:=(x-Sqrt(x))^2-2^2 (en color verde), por lo que la suposición de que se puede elevar al cuadrado a ambos miembros de la igualdad x-Sqrt(x)==2 NO ES CIERTA. En efecto y2 es distinto de y1.
In[27]:= Solve[y2===y1,x]
Out[27]= {}
In[28]:= y2===y1
Out[28]= False
In[29]:= Plot[{y1,y2},{x,-0.5,4.5},PlotStyle->{Red,Green},PlotLegends->{"y1:=x-Sqrt[x]-2","y2:=(x-Sqrt[x])^2-2^2"}]
Out[29]= gráfica

Queda claro, puesto que este ejemplo es un contra-ejemplo de la proposición contraria, que ELEVAR AL CUADRADO A AMBOS MIEMBROS DE UNA IGUALDAD NO ES UNA OPERACIÓN QUE MANTENGA LA IGUALDAD ORIGINAL.
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